高三复习 圆锥曲线离心率的几种求法
复习目标
1,进一步理解圆锥曲线离心率的概念,并了解其是高考常考题型;
2,通过合理选择构造求圆锥曲线离心率常用方法,体会感悟解决数学问题的解题策略和思想方法,提升学生的解题能力.
知识梳理
1、三类圆锥曲线的离心率
圆锥曲线 | 椭圆 | 抛物线 | 双曲线 |
离心率 |
2、离心率对椭圆、双曲线形状的影响
热身小练:
1、已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为__
2、已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离
心率为_________
3、已知双曲线的渐近线与抛物线相交,则双曲线
的离心率范围为_________
4、椭圆()和圆(其中为半焦距)有四个不
同的交点,则椭圆的离心率范围为_________
方法提炼:
例题讲解:
1、利用圆锥曲线的定义:
例1(1)以正方形的两个顶点为焦点,且过两点的椭圆的离心率为___
(2) 已知、是双曲线的两焦点,以线段F1F2为边作正,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为__________
2、利用向量的简单性质
例2已知为椭圆的右焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交椭圆于点,且,则椭圆的离心率是_________
3、利用圆锥曲线的几何定义:
例3已知为椭圆的右焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交椭圆于点,且,则椭圆的离心率是_________
4、利用函数值域
例4设,则双曲线的离心率的取值范围为____________
5、利用圆锥曲线中一些几何量的有界性
例5(1)已知点,分别是双曲线的左、右焦点,P是其
上一点,若有,则双曲线离心率的取值范围是 .
(2)设分别是椭圆()的左、右焦点,若在其右准线上存在使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是
5、已知椭圆的左、右焦点分别为若椭圆上存在点使,则该椭圆的离心率的取值范围为______________
教学感想:
求离心率过程常常用到“代数法”和“几何法”.
“代数法”能降低问题的复杂程度,往往适用于一些只有复杂关系而没有准确数字的题型中,只要准确理解题意,挖掘隐含条件,抓住量与量之间的关系,就能整体上把握解题方向.而“几何法”的使用需要学生熟练掌握所学过的几何知识.简单画出不标准图形,再结合题设给出的条件,准确而熟练使用几何知识,提高解体效率.“几何法”在使用过程中不易受图形不标准的影响,提高学生解决问题的能力.
因此学生既要学会”代数法”,也要掌握“几何法”,前者可以帮助学生整理题设和条件,后者可以提高学生对问题的分析能力,两者相互结合才能发挥出最大功效.因此在教学过程中要将数形结合的的思想贯彻始终,培养学生的作图能力,提高审题能力,学会适当转化思维,拓展学生思维的严密性和完整性.
离心率是圆锥曲线的重要概念,离心率试题新颖而有创造性,解法更是多样化.因此要求学生了解离心率的由来,掌握离心率的公式,理解离心率的变化带来圆锥曲线的变化.在解题过程中选择正确的方法,才能快捷准确地解决离心率问题.教师在离心率的教学中要防止知识的“碎片化”,引导学生去了解更深层次的几何问题,发展学生的思维活动,提高学生的数学核心素养.